Un n-símplice es la envoltura convexa de n + 1 puntos v_0, \ldots, v_n de algún \mathbb{R}^N que son afínmente independientes, es decir, que no están en ningún subespacio afín de dimensión menor que n. Un punto, un segmento, un triángulo y un tetraedro son los símplices de dimensión 0 a 3. Las caras de un símplice son los símplices generados por subconjuntos no vacíos de sus vértices [2].
Un complejo simplicial es una colección finita K de símplices tal que toda cara de un símplice de K está de nuevo en K, y la intersección de dos símplices de K es vacía o una cara de ambos [2]. Su espacio subyacente |K| es la unión de los símplices. Las tres aristas de un triángulo forman un complejo cuyo espacio es una circunferencia, al añadir el triángulo se obtiene un disco, y los cuatro triángulos de un tetraedro con sus aristas y vértices dan una esfera.
La segunda condición es la que hace fiable la combinatoria. En la figura, los triángulos T_1 = [P, Q, R] y T_2 = [P, M, S] se cortan en [P, M], la mitad de la arista [P, Q], que no es una cara de T_1. Añadir M como vértice y dividir T_1 en [P, M, R] y [M, Q, R] lo arregla, y subdividir así no cambia el espacio subyacente.
Una orientación de un símplice es un orden de sus vértices salvo permutaciones pares, escrito [v_0, \ldots, v_n], y la orientación opuesta es su negativo. Hatcher calcula la homología simplicial para los \Delta-complejos, más flexibles, en los que un símplice puede pegarse consigo mismo a lo largo de caras. Así el toro necesita solo dos triángulos, mientras que como complejo simplicial necesita al menos catorce [1].
El grupo C_n(K) de las n-cadenas es el grupo abeliano libre con un generador por cada n-símplice, orientado de una vez por todas, así que una n-cadena es una suma finita \sum_i m_i \sigma_i con coeficientes enteros. El operador borde \partial_n \colon C_n(K) \to C_{n-1}(K) envía un símplice orientado a \sum_{i=0}^n (-1)^i [v_0, \ldots, \hat{v}_i, \ldots, v_n], donde \hat{v}_i indica que se omite v_i [1,2].
Para un segmento, \partial [v_0, v_1] = v_1 - v_0, y para un triángulo, \partial [v_0, v_1, v_2] = [v_1, v_2] - [v_0, v_2] + [v_0, v_1], el lazo alrededor del triángulo. En \partial\partial\sigma cada cara de dos dimensiones menos aparece dos veces con signos opuestos, así que \partial_{n-1} \circ \partial_n = 0 [1].
Los n-ciclos Z_n = \ker \partial_n son las cadenas sin borde, y los n-bordes B_n = \operatorname{im} \partial_{n+1} son las cadenas que bordean algo. Como \partial\partial = 0, todo borde es un ciclo, y el grupo de homología H_n(K) = Z_n/B_n mide los ciclos que no bordean nada. En grado 0, dos vértices son homólogos exactamente cuando un camino de aristas los une, así que H_0(K) es libre con un generador por cada componente conexa.
La figura divide un hexágono en seis triángulos \sigma_0, \ldots, \sigma_5 alrededor de un centro O, todos orientados en sentido antihorario, y los suma uno a uno dibujando el borde de la suma. Cada arista que sale de O es compartida por dos triángulos consecutivos con orientaciones opuestas y se cancela, así que \partial(\sigma_0 + \cdots + \sigma_5) es el lazo z alrededor del hexágono, y z es un borde.
Al quitar los seis triángulos queda el hexágono como complejo con seis vértices y seis aristas. El lazo z sigue siendo un ciclo, pero ya no hay 2-cadenas, así que deja de ser un borde y genera H_1 \cong \mathbb{Z}. El triángulo hueco se comporta igual, y rellenarlo elimina su agujero de dimensión uno: el H_1 del disco es 0.
Para un complejo finito, todo grupo de cadenas es finitamente generado y cada \partial_n es una matriz entera. Con coeficientes racionales, \dim H_n = \dim C_n - \operatorname{rank} \partial_n - \operatorname{rank} \partial_{n+1}, porque \dim Z_n = \dim C_n - \operatorname{rank} \partial_n y \dim B_n = \operatorname{rank} \partial_{n+1}. Sobre los enteros, la forma normal de Smith de \partial_{n+1} da además la torsión de H_n, como en H_1(\mathbb{RP}^2) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.
El borde del tetraedro tiene 4 vértices, 6 aristas y 4 triángulos. Sus aristas forman un grafo conexo, así que \operatorname{rank} \partial_1 = 3, y los bordes de los cuatro triángulos generan un espacio de dimensión 3, así que \operatorname{rank} \partial_2 = 3. La fórmula da \dim H_0 = 4 - 3 = 1, \dim H_1 = 6 - 3 - 3 = 0 y \dim H_2 = 4 - 3 = 1, la homología de la esfera [2].
La figura pliega un desarrollo de cuatro triángulos hasta formar el tetraedro. Los cuatro triángulos llevan la orientación antihoraria del plano del desarrollo, y al plegarlo sus seis aristas exteriores se pegan de dos en dos. En cada arista pegada los dos triángulos inducen sentidos opuestos, así que sus contribuciones se cancelan y la suma c de los cuatro triángulos cumple \partial c = 0.
El propio tetraedro, el 3-símplice, no forma parte del complejo, así que c no es un borde y genera H_2 \cong \mathbb{Z}. Añadir el 3-símplice hace de c el borde \partial [v_0, v_1, v_2, v_3], salvo signo, y elimina H_2, igual que rellenar el triángulo eliminaba H_1.
La suma alternada \sum_n (-1)^n \dim C_n es igual a \sum_n (-1)^n \dim H_n, así que la característica de Euler 4 - 6 + 4 = 2 del tetraedro solo depende de su homología. Por último, la homología simplicial de K es isomorfa a la homología singular de |K|, así que no depende de la triangulación elegida [1].