Para una aplicación f \colon X \to Y, el cilindro de aplicación M_f es el cociente de la unión disjunta de X \times [0, 1] y Y que identifica cada punto (x, 1) con f(x) \in Y [1]. El extremo del cilindro en t = 0 es una copia de X, el espacio Y queda dentro de M_f sin cambios, y cada punto x de X está unido a su imagen f(x) por el segmento de (x, 0) a (x, 1).
La identidad de X da el propio cilindro X \times [0, 1], y la aplicación constante de X en un punto da el cono sobre X, en el que todos los segmentos se encuentran en el vértice. Para f \colon S^1 \to S^1, f(z) = z^2, cada punto de Y tiene dos preimágenes, los dos segmentos que terminan en él se prolongan uno a otro, y M_f es la banda de Möbius, con X como circunferencia del borde e Y como circunferencia central.
La figura construye el cilindro de z \mapsto z^3. En cada punto de la circunferencia central Y terminan tres segmentos, que se abren a un tercio de vuelta entre sí en el plano perpendicular a la circunferencia. Al dar una vuelta a Y, las tres aletas giran un tercio de vuelta y se permutan, así que sus bordes exteriores se unen en una sola curva cerrada X que da tres vueltas alrededor de Y.
El cilindro de aplicación contiene a X y a Y como subespacios cerrados, y cuando X e Y son complejos CW y f es celular, M_f es un complejo CW que tiene a ambos como subcomplejos [1]. Una aplicación no inyectiva, como z \mapsto z^3, se vuelve inyectiva en el extremo X de M_f: los puntos que f envía al mismo punto siguen separados hasta el otro extremo de sus segmentos.
Deslizar cada punto de X \times [0, 1] por su segmento hacia Y mediante las aplicaciones (x, t) \mapsto (x, t + s(1 - t)), 0 \leq s \leq 1, dejando fijo Y, es una retracción por deformación de M_f sobre Y [1]. La aplicación final r \colon M_f \to Y envía (x, t) a f(x) y es una equivalencia homotópica.
Sea i \colon X \to M_f la inclusión del extremo. Entonces f = r \circ i con r una equivalencia homotópica, así que, salvo equivalencia homotópica, toda aplicación es una inclusión. Por eso muchos enunciados sobre aplicaciones se reducen a enunciados sobre un espacio y un subespacio, aquí el par (M_f, X), y así se usa el cilindro de aplicación en homología y en teoría de homotopía.
La figura muestra la proyección f de la circunferencia X sobre el segmento Y = [-1, 1]. Los segmentos que bajan de los puntos de X a sus imágenes forman dos láminas que se juntan a lo largo de Y, con una sección en forma de V. Dos puntos de X con la misma imagen (en color) son puntos distintos de M_f, y solo se encuentran cuando la retracción por deformación los empuja hasta Y.
Las retracciones por deformación del artículo sobre homotopía son de este tipo. La corona circular cerrada es el cilindro de la identidad de la circunferencia, la banda de Möbius es el cilindro de z \mapsto z^2, y el toro sólido S^1 \times D^2 es el cilindro de la proyección de su toro borde sobre la circunferencia central. En cada caso la retracción desliza los puntos por los segmentos del cilindro de aplicación.
El otro extremo X es un retracto por deformación de M_f exactamente cuando f es una equivalencia homotópica [1]. En consecuencia, dos espacios son homotópicamente equivalentes si y solo si ambos son retractos por deformación de un tercer espacio, y para una equivalencia homotópica f \colon X \to Y ese tercer espacio puede ser M_f.
La retracción por deformación va en un solo sentido, de un espacio a un subespacio. La aplicación constante de S^1 en un punto no es una equivalencia homotópica, y su cilindro es el cono sobre S^1, un disco. El disco se retrae por deformación sobre su vértice pero no sobre su circunferencia borde, porque una retracción del disco sobre la circunferencia haría nulhomotópica la identidad de S^1.
Al colapsar a un punto el extremo X de M_f se obtiene el cono de aplicación C_f = M_f/X, en el que el cilindro se convierte en el cono sobre X pegado a Y mediante f [1]. Para una aplicación f \colon S^{n-1} \to Y el cono es el disco D^n, y C_f es Y con una celda de dimensión n pegada por f. Para la aplicación constante en un punto, C_f es la suspensión de X, y para z \mapsto z^2 es \mathbb{RP}^2.
La figura muestra la inclusión f del ecuador en S^2. Su cilindro es la esfera con un anillo pegado a lo largo del ecuador, y el borde exterior del anillo es el extremo X. Al encoger ese borde a un punto, el anillo se convierte en un disco tendido sobre el ecuador, el cono sobre X. El disco es contráctil, y colapsarlo estrangula la esfera por el ecuador, así que C_f es homotópicamente equivalente a S^2 \vee S^2.
Cuando f es la inclusión de un subcomplejo A de un complejo CW X, el cono de aplicación es homotópicamente equivalente al cociente X/A [1]. Esta es una de las razones por las que los cocientes por subcomplejos aparecen tan a menudo en homología, en la sucesión exacta larga de un par y en los cálculos para espacios construidos pegando celdas.