Sea p \colon \tilde{X} \to X una aplicación recubridora con \tilde{X} conexo por caminos y X conexo y localmente conexo por caminos. Una transformación de recubrimiento es un homeomorfismo h \colon \tilde{X} \to \tilde{X} con p \circ h = p, de modo que permuta cada fibra y lleva hojas a hojas. Las transformaciones de recubrimiento forman un grupo G(\tilde{X}) con la composición [1,2].
Una transformación de recubrimiento es un levantamiento de la propia p, así que, por la unicidad de los levantamientos, queda determinada por la imagen de un solo punto. En particular, si tiene un punto fijo es la identidad, y G(\tilde{X}) actúa libremente sobre cada fibra. Para \mathbb{R} \to S^1 son las traslaciones s \mapsto s + k con k \in \mathbb{Z}, para z \mapsto z^n los giros de ángulo múltiplo de 2\pi/n, y para S^n \to \mathbb{RP}^n la identidad y la aplicación antípoda.
Mover el punto base dentro de la fibra cambia H = p_*\pi_1(\tilde{X}, \tilde{x}_0) por un conjugado: si un camino de \tilde{x}_0 a \tilde{x}_1 se proyecta en un lazo \gamma, entonces p_*\pi_1(\tilde{X}, \tilde{x}_1) = [\gamma]^{-1} H [\gamma]. Por el criterio de levantamiento aplicado a la propia p, existe una transformación de recubrimiento que lleva \tilde{x}_0 a \tilde{x}_1 exactamente cuando esos dos subgrupos son iguales [1].
El recubrimiento es normal si G(\tilde{X}) actúa transitivamente sobre cada fibra, es decir, si para dos puntos cualesquiera de una fibra alguna transformación lleva uno al otro. Esto ocurre exactamente cuando H coincide con todos sus conjugados, o sea, cuando es normal en \pi_1(X, x_0), y entonces G(\tilde{X}) \cong \pi_1(X, x_0)/H. En general, G(\tilde{X}) \cong N(H)/H, con N(H) el normalizador de H [1]. Para el recubrimiento universal, G(\tilde{X}) \cong \pi_1(X, x_0).
La figura compara dos recubrimientos de 3 hojas de la figura ocho S^1 \vee S^1, dibujados como grafos cuyos vértices 1, 2, 3 están sobre el punto base. En el primero, tanto a como b llevan 1 a 2, 2 a 3 y 3 a 1, y al girar el grafo un tercio de vuelta cada arista cae sobre otra con la misma etiqueta y el mismo sentido. Esos giros son las transformaciones de recubrimiento, G(\tilde{X}) \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} es transitivo sobre los vértices y el recubrimiento es normal.
En el segundo, b intercambia 1 y 2 y fija 3. El mismo giro ya no hace coincidir las aristas b, y ninguna simetría del grafo salvo la identidad respeta las etiquetas y los sentidos, así que G(\tilde{X}) es trivial. El subgrupo H está formado por las palabras cuyo levantamiento desde 1 termina en 1. Contiene a^{-1}ba, cuyo levantamiento va de 1 a 3, se queda en 3 y vuelve a 1, pero no su conjugado b, que termina en 2, así que H no es normal.
Supongamos ahora que X es conexo por caminos, localmente conexo por caminos y semilocalmente simplemente conexo, de modo que tiene un recubrimiento universal \tilde{X} \to X con grupo de transformaciones \pi_1(X, x_0). Para cada subgrupo H \subset \pi_1(X, x_0), el cociente \tilde{X}/H por las transformaciones de H es un recubrimiento de X cuyo subgrupo es exactamente H [1]. En términos de clases de caminos, identifica [\gamma] con [h\gamma] para h \in H.
Esta es la correspondencia de Galois. Asignar a un recubrimiento el subgrupo p_*\pi_1(\tilde{X}, \tilde{x}_0) da una biyección entre los recubrimientos conexos con un punto elegido sobre x_0, salvo isomorfismos que conservan ese punto, y los subgrupos de \pi_1(X, x_0) [1]. Si se olvida el punto elegido, los recubrimientos corresponden a clases de conjugación de subgrupos, y los recubrimientos normales a los subgrupos normales.
La correspondencia invierte el tamaño. El subgrupo trivial da el recubrimiento universal, y el grupo entero da el propio X, con una hoja. Si H \subset K, el recubrimiento de H se factoriza a través del de K por el criterio de levantamiento, y el número de hojas del primero sobre el segundo es el índice de H en K. Es el mismo esquema que en la teoría de Galois, donde un subgrupo más pequeño del grupo de Galois fija un cuerpo más grande.
Para el toro S^1 \times S^1, cuyo recubrimiento universal es \mathbb{R}^2 con grupo de transformaciones \mathbb{Z}^2, todo subgrupo es normal. Un subgrupo de índice finito n da un toro de n hojas, un subgrupo isomorfo a \mathbb{Z} da un cilindro y el subgrupo trivial da \mathbb{R}^2. La figura colorea los cuadrados unidad de \mathbb{R}^2 según las clases laterales de H en \mathbb{Z}^2: los cuadrados de un color forman una hoja, y un cuadrado de cada color compone el toro recubridor.
Los subgrupos 2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} y \langle (1, 1), (1, -1) \rangle tienen índice 2 y dan franjas verticales y un tablero de ajedrez. Ambos contienen a 2\mathbb{Z} \times 2\mathbb{Z}, de índice 4, cuyos cuatro colores refinan los dos dibujos. Así, el toro de 4 hojas es un recubrimiento de 2 hojas de cada uno de los dos toros de 2 hojas.
Para la figura ocho, \pi_1 es el grupo libre F_2 y la correspondencia es mucho más rica. Los dos recubrimientos de la figura anterior provienen de subgrupos de índice 3. El primero es normal, mientras que el segundo corresponde a tres subgrupos conjugados distintos, uno por cada vértice elegido como punto base.
Los recubrimientos también surgen de acciones de grupos. Si un grupo G actúa sobre Y por homeomorfismos y cada punto tiene un entorno U tal que gU y U son disjuntos para todo g \neq 1 (una acción de recubrimiento), el cociente Y \to Y/G es un recubrimiento normal, y si Y es conexo por caminos, su grupo de transformaciones es G [1]. Si además Y es simplemente conexo y localmente conexo por caminos, es el recubrimiento universal y \pi_1(Y/G) \cong G.
Las traslaciones por \mathbb{Z}^2 en \mathbb{R}^2 dan el toro, y la aplicación antípoda de S^n da \mathbb{RP}^n, así que \pi_1(\mathbb{RP}^n) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} para n \geq 2. En S^3 \subset \mathbb{C}^2, la aplicación (z, w) \mapsto (\omega z, \omega^q w) con \omega = e^{2\pi i/p} y q primo con p genera una acción libre de \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, cuyo cociente, el espacio lente L(p, q), tiene grupo fundamental \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.
La condición sobre los entornos no puede debilitarse a la ausencia de puntos fijos. El giro de la circunferencia por un múltiplo irracional de 2\pi genera una acción libre de \mathbb{Z}, pero cada órbita es densa, así que ningún entorno es disjunto de sus imágenes, y el cociente ni siquiera es un espacio de Hausdorff.
La figura muestra una acción libre de \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} sobre el toro. Con el toro colocado simétricamente alrededor del origen de \mathbb{R}^3, la aplicación x \mapsto -x lo lleva en sí mismo, girando cada punto media vuelta alrededor del eje y reflejando su ángulo alrededor del tubo. El origen está en el agujero, así que ningún punto queda fijo, y un grupo finito que actúa libremente sobre un espacio de Hausdorff da siempre una acción de recubrimiento.
Cuando el punto P da una vuelta a un paralelo, -P recorre el paralelo a la altura opuesta, y cuando P da una vuelta al tubo, -P rodea el tubo en el lado opuesto en sentido contrario. La aplicación invierte la orientación, y el cociente es la botella de Klein K. El toro es, por tanto, un recubrimiento normal de 2 hojas de K, y \pi_1(T^2) \cong \mathbb{Z}^2 es un subgrupo normal de índice 2 en \pi_1(K).