Sea p \colon \tilde{X} \to X una aplicación continua. Un abierto U \subset X está uniformemente cubierto si p^{-1}(U) es una unión de abiertos disjuntos de \tilde{X}, cada uno de los cuales p aplica homeomórficamente sobre U. La aplicación p es una aplicación recubridora, y \tilde{X} es un espacio recubridor de X, cuando cada punto de X tiene un entorno abierto uniformemente cubierto [1,2]. Los abiertos disjuntos sobre U se llaman hojas sobre U.
Cada hoja sobre un U uniformemente cubierto corta la fibra p^{-1}(x) en exactamente un punto para cada x \in U, así que el número de puntos de la fibra no cambia dentro de U. El número de puntos de p^{-1}(x) es, por tanto, una función localmente constante de x, y si X es conexo es constante: es el número de hojas del recubrimiento. Puede ser infinito, y un recubrimiento con n hojas se llama recubrimiento de n hojas.
La aplicación p \colon \mathbb{R} \to S^1, p(s) = (\cos 2\pi s, \sin 2\pi s), es un recubrimiento con una hoja por cada entero, pues la preimagen de un arco abierto más corto que la circunferencia es una unión disjunta de intervalos abiertos. Con S^1 \subset \mathbb{C}, z \mapsto z^n es un recubrimiento de n hojas de S^1. El cociente S^n \to \mathbb{RP}^n por los puntos antípodas tiene 2 hojas, ya que un abierto en un hemisferio abierto no corta a su imagen antípoda.
La figura corta la circunferencia en el punto base x_0 y dibuja el recubrimiento de 3 hojas \mathbb{R}/3\mathbb{Z} \to S^1, s \mapsto (\cos 2\pi s, \sin 2\pi s), como tres copias de la circunferencia cortada apiladas sobre ella. Los números de los extremos son valores de s, y los números iguales se pegan. Cuando el arco U contiene a x_0, cada preimagen se reparte entre el final de una copia y el comienzo de la siguiente, y sigue siendo un solo arco aplicado homeomórficamente sobre U.
Un homeomorfismo local sobreyectivo no es necesariamente una aplicación recubridora. La misma fórmula en el intervalo abierto (0, 3) lo es, pero el punto x_0 solo tiene las dos preimágenes s = 1 y s = 2, mientras que todos los demás puntos tienen tres. En la segunda mitad de la figura, un arco alrededor de x_0 tiene dos trozos de su preimagen junto a los extremos ausentes s = 0 y s = 3, y cada uno se aplica solo sobre la mitad del arco. Ningún entorno de x_0 está uniformemente cubierto.
Una aplicación recubridora tiene la propiedad de levantamiento de caminos: para cada camino \gamma en X desde x_0 y cada \tilde{x} \in p^{-1}(x_0), hay un único camino \tilde{\gamma} desde \tilde{x} con p \circ \tilde{\gamma} = \gamma. Las homotopías se levantan igual, así que caminos homótopos con extremos fijos tienen levantamientos desde \tilde{x} con el mismo final [1]. Con estas propiedades se calculó el grupo fundamental de la circunferencia, y sirven para cualquier recubrimiento.
Para \tilde{x} \in p^{-1}(x_0) y un lazo \gamma en x_0, sea \tilde{x} \cdot [\gamma] el extremo final del levantamiento de \gamma desde \tilde{x}. Levantar \gamma y después \delta da (\tilde{x} \cdot [\gamma]) \cdot [\delta] = \tilde{x} \cdot [\gamma\delta], así que \pi_1(X, x_0) actúa sobre la fibra por la derecha. Si \tilde{X} es conexo por caminos, un camino de \tilde{x} a \tilde{y} se proyecta en un lazo que lleva \tilde{x} a \tilde{y}, y la acción es transitiva.
El homomorfismo p_* \colon \pi_1(\tilde{X}, \tilde{x}_0) \to \pi_1(X, x_0) es inyectivo: si p \circ \tilde{\gamma} es nulhomotópico, levantar la homotopía desde \tilde{x}_0 da una homotopía de \tilde{\gamma} a una constante. Su imagen está formada exactamente por las clases de los lazos cuyos levantamientos desde \tilde{x}_0 vuelven a ser lazos [1]. En términos de la acción, H = p_*\pi_1(\tilde{X}, \tilde{x}_0) es el conjunto de las clases que fijan \tilde{x}_0.
Dos clases [\gamma] y [\delta] llevan \tilde{x}_0 al mismo punto exactamente cuando [\gamma][\delta]^{-1} fija \tilde{x}_0, es decir, cuando están en la misma clase lateral por la derecha de H. Si \tilde{X} es conexo por caminos, H[\gamma] \mapsto \tilde{x}_0 \cdot [\gamma] es entonces una biyección de las clases laterales por la derecha de H en la fibra, y si X también lo es, el número de hojas es el índice de H en \pi_1(X, x_0) [1].
Para z \mapsto z^n en la circunferencia, H es n\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}, de índice n. El toro S^1 \times S^1 tiene el recubrimiento de 2 hojas (z, w) \mapsto (z^2, w), y su H es 2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}: un lazo se levanta a un lazo si y solo si da un número par de vueltas a la primera circunferencia. Para S^2 \to \mathbb{RP}^2, H es trivial, así que el elemento no trivial de \pi_1(\mathbb{RP}^2) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} intercambia los dos puntos de la fibra.
La figura muestra un recubrimiento de 3 hojas de la figura ocho S^1 \vee S^1 como un grafo cuyos vértices 1, 2, 3 forman la fibra. Las aristas a cubren la circunferencia izquierda y las aristas b la derecha; a intercambia 1 y 2 y fija 3, y b intercambia 2 y 3 y fija 1. Los levantamientos de b, a, ab y a^2 desde el vértice 1 terminan en 1, 2, 3 y 1. Así, b y a^2 están en H, y H, Ha y Hab son las tres clases laterales, una por hoja.
Los caminos no son las únicas aplicaciones que se levantan. Sean p \colon (\tilde{X}, \tilde{x}_0) \to (X, x_0) una aplicación recubridora y f \colon (Y, y_0) \to (X, x_0) una aplicación desde un espacio Y conexo por caminos y localmente conexo por caminos. Entonces existe un levantamiento \tilde{f} \colon (Y, y_0) \to (\tilde{X}, \tilde{x}_0), una aplicación con p \circ \tilde{f} = f, si y solo si f_*\pi_1(Y, y_0) \subset p_*\pi_1(\tilde{X}, \tilde{x}_0) [1].
La condición es necesaria porque f_* = p_* \circ \tilde{f}_*. Recíprocamente, sea \tilde{f}(y) el final del levantamiento desde \tilde{x}_0 de f \circ \eta, con \eta un camino de y_0 a y. Para dos de esos caminos \eta_1 y \eta_2, la clase de f \circ (\eta_1 \bar{\eta}_2) está en p_*\pi_1(\tilde{X}, \tilde{x}_0), luego se levanta a un lazo y ambos dan el mismo punto. La conexión local por caminos, usada dentro de abiertos uniformemente cubiertos, hace continua a \tilde{f}.
Una vez fijado un valor, el levantamiento es único: si Y es conexo y dos levantamientos de f coinciden en un punto, coinciden en todas partes [1]. Sobre un entorno uniformemente cubierto de f(y), dos levantamientos cerca de y están en la misma hoja o en hojas distintas, así que el conjunto donde coinciden y el conjunto donde difieren son ambos abiertos.
Toda aplicación en S^1 desde un espacio simplemente conexo y localmente conexo por caminos se levanta a \mathbb{R}, porque la condición f_*\pi_1(Y) \subset p_*\pi_1(\mathbb{R}) se cumple cuando el lado izquierdo es trivial. Una aplicación f \colon S^2 \to S^1 se factoriza entonces como p \circ \tilde{f} con \tilde{f} \colon S^2 \to \mathbb{R}. Como \mathbb{R} es contráctil, \tilde{f} y por tanto f son nulhomotópicas, y lo mismo vale para las aplicaciones S^n \to S^1 con n \geq 2.
La conexión local por caminos no se puede quitar. El círculo de Varsovia W de la figura es la gráfica de \sin(\pi/x) para 0 < x \leq 1, junto con el segmento de (0, -1) a (0, 1) en el que se acumula la gráfica, y un arco por debajo que une ambos. Ningún camino entra en el segmento desde la gráfica, así que todo lazo en W es nulhomotópico y \pi_1(W) es trivial [1]. Sea f \colon W \to S^1 la aplicación que mide la dirección desde el punto c de la región que encierra W.
Supongamos que \tilde{f} fuera un levantamiento de f, medido en vueltas completas desde su valor en el extremo inferior del segmento. En el segmento sus valores están entre -0.16 y 0. Al recorrer el arco y la gráfica hacia el segmento, el ángulo crece casi una vuelta completa, y cerca del segmento el valor se mantiene por encima de 0.8. La gráfica se acerca tanto como se quiera a cada punto del segmento, así que \tilde{f} no puede ser continua, aunque f_*\pi_1(W) sea trivial.
Un recubrimiento p \colon \tilde{X} \to X con \tilde{X} simplemente conexo se llama recubrimiento universal. Si X es localmente conexo por caminos y q \colon (Y, y_0) \to (X, x_0) es otro recubrimiento con Y conexo por caminos, el criterio de levantamiento se aplica a p, porque p_*\pi_1(\tilde{X}) es trivial y está contenido en q_*\pi_1(Y, y_0). Así, p se factoriza a través de todo recubrimiento conexo de X, y de ahí viene el nombre [1,2].
Existe un recubrimiento universal cuando X es conexo por caminos, localmente conexo por caminos y semilocalmente simplemente conexo, lo que significa que cada punto tiene un entorno U en el que todo lazo es nulhomotópico en X. La última condición también es necesaria. Un lazo en un U uniformemente cubierto se levanta dentro de una sola hoja, el levantamiento es nulhomotópico porque el espacio recubridor es simplemente conexo, y al proyectar la homotopía se ve que el lazo es nulhomotópico en X.
La construcción toma como puntos de \tilde{X} las clases [\gamma] de los caminos en X que empiezan en x_0, salvo homotopía con ambos extremos fijos, y define p([\gamma]) = \gamma(1). Un entorno básico de [\gamma] está formado por las clases [\gamma\eta] con \eta un camino en un entorno pequeño de \gamma(1) como el de antes. La fibra sobre x_0 es el conjunto de las clases de lazos, es decir, \pi_1(X, x_0), y el grupo actúa sobre ella multiplicando por la derecha [1,2].
Los recubrimientos \mathbb{R} \to S^1, \mathbb{R}^2 \to S^1 \times S^1 y S^n \to \mathbb{RP}^n con n \geq 2 son universales. El recubrimiento universal de la figura ocho es el árbol con cuatro aristas en cada vértice, dos a y dos b, cuyos vértices corresponden a las palabras reducidas en a, b y sus inversos. El pendiente hawaiano, unión de las circunferencias de radio 1/n y centro (1/n, 0), no es semilocalmente simplemente conexo en el origen y no tiene recubrimiento universal.
La figura muestra S^1 \vee S^2, una circunferencia y una esfera unidas en x_0. Su recubrimiento universal es la recta \mathbb{R} con una copia de S^2 en cada entero, y los enteros son la fibra sobre x_0. Un lazo en la esfera se levanta a un lazo en una esfera, y una vuelta a la circunferencia, a un camino al entero siguiente, como corresponde a \pi_1(S^1 \vee S^2, x_0) \cong \mathbb{Z}. Al contraer la recta a un punto, el recubrimiento queda homotópicamente equivalente a una cuña de infinitas esferas S^2.