ボース粒子の気体を、粒子の数を変えずに冷やしていきます。図は準位への入り具合で、温度を下げると粒子が下のほうへ集まっていきます。
ここまでは当たり前です。ところが、ある温度から先で妙なことが起こります。下の準位へ集まるだけでは済まなくなり、一番下の 1 本だけに目に見える割合の粒子が溜まりはじめます。
これをボース凝縮といいます。不思議なことのようですが、出てくる筋道は数の勘定だけです。それを順にたどります。
前の記事で見たとおり、ボース粒子の占有数は\dfrac{1}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)} - 1} です。\mu が一番下の準位より大きくなると、その準位の占有数が負になってしまいます。ですから \mu には上限があります。
一番下の準位のエネルギーを 0 に取れば、上限はちょうど 0 です。図の横線がその上限で、\mu はこれより大きくなれません。
温度を下げていくと、\mu は大きくなっていきます。粒子の数を変えないためには、そうなるほかないからです。ところが上限があるので、ある温度で \mu は上限に達します。
一番下以外の準位を、まとめて励起状態と呼びます。そこにいられる粒子の数を、\mu を上限まで上げた状態で数えてみます。それがその温度で励起状態にいられる粒子の最大の数です。
計算すると、この最大の数は T の \dfrac{3}{2} 乗に比例します。図の上がっていく曲線がそれで、温度を下げると減っていきます。
横線が、実際の粒子の数です。2 本が交わるところより高い温度では、全部の粒子が励起状態にいられます。ところが交点より低い温度では、全部はいられません。この交点の温度を転移温度といいます。
励起状態にいられない粒子は、どこへ行くのか。行き先は 1 つしかありません。一番下の準位です。
一番下の準位だけは、いくらでも粒子を入れられます。\varepsilon と \mu の差が 0 に近づくと、占有数はいくらでも大きくなるからです。数えるときに 1 本だけ別に扱わなければならないのは、このためです。
図は、粒子がどの準位にいるかを表しています。転移温度より上では、ほとんどが励起状態にいます。転移温度を下回ると、一番下の準位にいる粒子の割合が急に大きくなります。粒子が集まる先は 1 本の準位だけなので、10^{23} 個の粒子が同じ 1 つの状態にいる、ということになります。
一番下の準位にいる粒子の割合を、温度に対して描いたのが図です。転移温度で 0 から立ち上がり、\dfrac{T}{T_{\mathrm{c}}} の \dfrac{3}{2} 乗を 1 から引いた形で大きくなっていきます。絶対零度で 1、つまり全部の粒子が一番下の準位に入ります。
この転移には、通常の相転移と違うところがあります。粒子どうしが引き合っているわけではありません。ここまでの計算では、粒子のあいだの力を 1 度も使いませんでした。同じ準位に何個でも入れる、という数え方だけで起こります。
予言されたのは 1925 年、実際に作られたのは 1995 年です。数を数えることから始めた計算で、10^{-7} ケルビンまで冷やした原子の集まりが説明できるようになりました。統計力学の基本的な方法は、これで一通りそろいました。